2016-06-02

　数学の「定理・公理」は「廷（貞）理・口（巧）理」でもないし、金貸しの「低利・高利」でもないが・・・
　ボクの時代の「数学の教科書」を読んで、その「定理・公理」の「簡単な数式」や「簡単な図形」の日本語説明の難解なコトは随分以前に書き込んだコトがあるが、「数学が理解出来ない」のではなく、それ以前的に数学を説明している「日本語と漢字」が理解出来ていなかったのだと・・・
　数学の記号、図式を「ニホン語」の説明だけで済ませばイイモノを、それを一文字、二文字の「漢字」に押し込め、更に「漢字の説明」を「和漢混交文」でする・・・「古事記序文」を記録した「太安万侶」の云い訳も、「インテリ平安女」が「表音化した漢字の平仮名、片仮名」の発明もスゴイが、明治の教養人もタイシタもんである・・・結果、苦労しているのは現在的な受験生だろうが・・・戦後（1946年〜2016年）は教育機会均等法で今現在生きている成人、老人（70歳〜）も、「数学」は義務教育で習ったハズだろうが・・・「加減乗除」以外は、ボケる以前に忘れているようだし、日常生活では専門家で無い限り、無用であるようだ・・・モチロン、社会的な約束の「定理（倫理）」も「公理（道徳）」も・・・「法文」の記録が無く、「法文」も曖昧であれば重要ではないらしい・・・
ーーーーー
　「定理（theorem＝数理論理学、及び数学に於いて、
　　　　　証明された真なる命題をいう
　　　　　文脈によっては
　　　　　公理も定理に含む
　　　　　数学に於いては論説における役割等から、
　　　　　補題＝lemma
　　　　　補助定理＝ helping theorem
　　　　　係＝corollary
　　　　　命題＝proposition
　　　　　とか呼ばれる）」
　　　　「いくつかの条件を列挙し、
　　　　　次にその下で
　　　　　成り立つ結論を述べる
　　　　　という形式をしている
　　　　　一定の条件（公理系）下で
　　　　　定理を述べそれを証明すること」
　とか、
ーーーーー
　「公理（Axiom）＝その他の命題を
　　　　　導きだすための前提として
　　　　　導入される
　　　　　最も基本的な仮定のこと
　　　　　一つの形式体系における
　　　　　議論の前提として置かれる
　　　　　一連の公理の集まりを
　　　　　公理系（Axiomatic system）
　　　　　公理を前提として
　　　　　演繹手続きによって
　　　　　導きだされる命題は
　　　　　定理とよばれる
　　　　　多くの文脈で「公理」と
　　　　　同じ概念をさすものとして
　　　　　仮定や前提という
　　　　　言葉も並列して用いられる
　↓↑
　公理
　↓↑
　他の結果を導きだすための
　議論の前提となるべき
　論理的に定式化された（形式的な）言明
　真実であることが明らかな
　自明の理が採用されるとは限らない
　知の体系の公理化は、
　いくつかの基本的で
　よく知られた事柄から
　その体系の主張が導きだせることを
　示すためになされることが多い
　↓↑
　ユークリッド原論などの
　古典的な数学観では、
　最も自明（絶対的）な前提を
　公理（Axiom）、
　それに準じて要請される前提を
　公準（Postulate）として
　区別していた
　↓↑
　公理の例
　命題「P」が成立するなら、
　命題「PまたはQ」も成立する
　↓↑
　2つの点が与えられたとき、
　その2点を通るような
　直線を引くことができる（ユークリッド幾何学）
　↓↑
　a＝b なら、a+c＝b+cである（ユークリッド原論）
　↓↑
　どんな自然数に対しても、
　その数の「次の」自然数が存在する（ペアノの公理）
　↓↑
　どんなものも含まないような
　集合（空集合）が存在する（公理的集合論）
　↓↑
　集合「S」と
　条件式「P」が与えられたとき、
　「S」の元のうち、
　条件「P(x)」を満たすような
　「x」だけからなる集合を作ることができる（公理的集合論）
　↓↑
　すべての集合「x」に対して、
　「x∈U」のような
　グロタンディーク宇宙「U」が存在する（グロタンディーク宇宙）
　↓↑
　公理にもとづいて
　証明される命題は
　定理という
　↓↑
　定理の例
　三角形の
　内角の和は
　180度である（ユークリッド幾何学）
　↓↑
　「axiom」の語源
　ギリシャ語の
　「αξιωμα(axioma・価値があり適切と考えられるもの
　　　　　　　　　あるいはそれ自身明らかなもの)」
　公理の概念が明確に記述され
　現存文書で最も古いものは、
　紀元前300年頃に
　ギリシアで書かれた
　「ユークリッド原論」
　↓↑
　以下の5つの公準
　第1公準＝点と点を直線で結ぶ事ができる
　第2公準＝線分は両側に延長して直線にできる
　第3公準＝1点を中心にして
　　　　　　任意の半径の円を描く事ができる
　第4公準＝全ての直角は等しい（角度である）
　第5公準＝1つの直線が
　　　　　　2つの直線に交わり、
　　　　　　同じ側の内角の和を
　　　　　　2つの直角より小さくするならば、
　　　　　　2つの直線は限りなく延長されると、
　　　　　　2つの直角より
　　　　　　小さい角のある側において交わる
　↓↑
　これらの公準は
　公理として認識されるが、
　最後の
　第5公準（平行線公準）は
　他の公準ほど自明ではない
　このため
　平行線公準は公準ではなく、
　他の4つの公理から
　導ける定理なのではないかという
　疑問が生じ（平行線問題）
　証明が試みられたが
　うまくはいかなかった
　↓↑
　19世紀に
　ガウス、ボヤイ、ロバチェフスキー
　らによって、
　最初の4つの公理が成立し
　かつ平行線公準が成立していないような
　幾何学の体系（楕円幾何学、双曲幾何学）が
　構成された事によって
　平行線問題は否定的に解決された
　もし最初の4つの公理から
　平行線公理が導けるのであれば
　幾何学は存在するはずがなく、
　よって
　平行線公準は
　他の4つの公理からは導けない
　平行線公理を仮定して展開される
　ユークリッド幾何学に対し、
　双曲幾何学のように
　最初の4つの公理は満たすが
　平行線公理のみは
　満たさないような幾何学を
　非ユークリッド幾何学という
　非ユークリッド幾何学の発見により、
　互いに相容れない前提にもとづく
　様々な数学の体系がありうる事が
　認識されるようになった・・・
　↓↑
　20世紀初頭、
　ヒルベルトを中心とした
　数学の抽象化・形式化の運動の中で、
　公理にもとづき理論を展開するという立場が強調
　公理系に求めるべき妥当性として、
　矛盾が導かれないことや、
　必ず成立するような命題は
　全て証明可能であることがあげられた
　「有限のデータ」によって定まり（有限の立場）
　このような
　妥当性を満たす公理系をもとにして
　数学の展開を目指した（ヒルベルト・プログラム）
　この考え方は
　ハウスドルフらによる
　位相空間論、
　ブルバキによる数学の再編成などを通じ
　20世紀の数学に大きな影響を与えた・・・
　しかし
　ゲーデルの
　「不完全性定理」によって
　「普通の数学(自然数論)」を
　展開できるような公理系では
　（体系が無矛盾である限り）
　その「無矛盾性」を与えられた公理系だけからは
　「証明できない」ことが示され、
　「ヒルベルト・プログラム」は
　実現不可能・・・
　↓↑
　公理の形式性
　公理にもとづく数学の定式化は、
　記述の定式化を促し、
　数学をものの内在的な意味から
　はなれた
　形式的な
　記号の操作だと見なす考え方を導いた
　↓↑
　公理とは
　前提として
　任意に選ばれた
　論理式にすぎず、
　その論理式から
　単なる記号操作で
　得られる論理式が定理である・・・
　このような考え方にたてば、
　ユークリッド幾何学に於ける
　点や直線、平面
　によって指定される性質を満たすに限り
　抽象的な対象にすぎず、
　現実世界における
　いかなる物体を表しているわけでもない・・・
　現実世界に於ける
　点や直線、平面の形をしたものや
　それらの間の関係性を調べることは、
　ユークリッド幾何学の意味(セマンティックス)を
　推察する助けにはなるが、
　公理にもとづく
　定理の推論（ユークリッド幾何のシンタックス）が
　そこから直ちに従うわけではないことになる
　↓↑
　「点」、「直線」、「平面」といった
　言葉の選択はまったく任意なものであり、
　「別の用語を選んだ」としても
　それらの間に
　ユークリッド幾何学の関係性を仮定するならば
　まったく
　おなじ体系が得られることになる・・・？
　↓↑
　「公理は論理式にすぎない」
　という考え方は
　「（揶揄を込めて）ビールジョッキ思想」
　と呼ばれる・・・
　「言葉・記号の選択の任意性」は
　19世紀の論理学者たちの間で問題になっており、
　その議論の一端は
　ルイス・キャロルによる
　『鏡の国のアリス』にも反映されている・・・
　『アリス』の登場人物
　ハンプティ・ダンプティは
　勝手に
　新しい単語を作ったり、
　既存の単語を
　別の意味に用いたりして
　主人公のアリスを混乱させる・・・
　ハンプティ・ダンプティは
　英語ならぬ
　「ハンプティ・ダンプティ語」
　を作って
　それを話している・・・
　↓↑
　公理の直観的・歴史的な妥当性
　↓↑
　公理系は
　記号で書かれた論理式の集まりなので、
　理屈の上では
　現実世界の観察に基づかない
　非現実的な公理系のもとに
　全く無意味な数学理論の体系を
　構築しても良いことになるが、
　多くの数学者は
　現実世界の観察に基づかない
　非現実的な公理系ではなく、
　現実世界の観察に基づく
　公理系を研究の対象にしている・・・
　↓↑
　排中律
　任意の命題Aに対し
　A自身か、Aの否定のどちらかが成立する
　一つのモデルの中では
　命題の真偽は確定的なものであるという立場の
　推論規則である
　通常の数学では
　排中律を認めるが、
　直観主義論理の立場に立った研究者たちは
　命題の真偽について
　実際に証明できる手続きが与えられることを要請・・・
　↓↑
　妥当性が問題になるタイプの公理に
　集合論の選択公理など
　無限を取り扱ったものがある
　「無限個の（空でない）集合の列から
　　一個ずつ元を選ぶことができる」
　という趣旨の公理で、
　選択公理は
　（集合論のそれ以外の公理が矛盾していない限り）
　矛盾を導かず（ゲーデル）、
　さらに
　選択公理の否定からも
　矛盾が導かれない（コーヘン）・・・
　↓↑
　選択公理を認める
　様々な強力な定理
　(帰納的順序集合における極大元の存在、
　ベクトル空間の基底の存在、
　代数的閉包の存在、
　従順群上の不変汎関数の存在など)が証明・・・
　↓↑
　選択公理を認めてしまうと
　一見直観に反していて
　逆理であるかのような
　定理（バナッハ・タルスキの逆理、非可測集合の存在）
　が成立してしまう・・・
　↓↑
　演繹（deduction）
　一般的・普遍的な前提から、
　より個別的・特殊的な結論を得る
　論理的推論の方法
　↓↑
　帰納に於ける
　前提と結論の導出関係が
　「蓋然的」に正しいとされるのみであるのに対し、
　演繹の導出関係は、その前提を認めるなら、
　「絶対的」、「必然的」に正しい
　したがって
　理論上は、
　前提が間違っていたり
　適切でない前提が用いられたりした場合には、
　誤った結論が導き出される
　近代では、
　演繹法とは
　記号論理学によって
　記述できる論法の事を指す
　↓↑
　演繹の代表例
　三段論法
　「人は必ず死ぬ」という大前提
　「ソクラテスは人である」という小前提
　「ソクラテスは必ず死ぬ」という結論
　二つの前提から結論を導き出す
　演繹を三段論法
　演繹においては
　前提が真であれば、結論も真
　↓↑
　前提を仮に認めるとすれば、
　必然的に結論が導かれる
　↓↑
　イマヌエル・カント
　通常の意味とは異なった形で
　演繹 (Deduktion) という語を用いている
　演繹とは
　概念の正当性の証明を意味
　『純粋理性批判』における
　カテゴリー（範疇）の超越論的演繹）」
　とか・・・
ーーーーー
　で、勉強、学ぶと云うコトは基本的には
　社会（秩序）が主体的に要請する
　「教育」は「義務」であり
　個々人の受身的な「義務」ではなく、
　個々人が主体性を発揮する
　「自習＝自己教育」としての「権利」である・・・
　出発点は
　「親（社会）の義務＝子供に対する
　　　　　　　　　　　認識力、思考力
　　　　　　　　　　　判断力の教育、育成
　　　　　　　　　　　教育環境の整備」
　段階的には
　「子供の権利＝自習・主体的な学習追求
　　　　　　　　認知学習能力を期楚にした
　　　　　　　　主体的な
　　　　　　　　認識、思考、判断の追求」
　・・・当然なコトである・・・人間個々人の社会生活は「知識として知っているコト」を前提に「自然や社会」と命を「繋（つな・椄な・通な・維な・継続）」いでいる、のだから・・・「･･･を知りたい」の前提的な「コトバの道具を獲得したい」のは当然でもあるハズだが・・・
　「･･･を知らせたくない奴」、
　「･･･を知りたくもない奴」、
　「･･･を知るコトの出来ない奴」
　「･･･を知れとする奴」、
　「･･･を知ろうとする奴」
　世の中は様々なヒトが「個々人」として存在するが・・・「ミざる・キカざる・イワざる」は「状況を知っての上のコト」だろう・・・
　↓↑
　日本国憲法
　第26条
　第1項
すべて国民は、
　法律の定めるところにより、
　その能力に応じて、
　ひとしく教育を受ける権利を有する。
　教育基本法第3条・第4条
　↓↑
　第3条（教育の機会均等）
　すべて国民は、ひとしく、
　その能力に応ずる教育を
　受ける機会を
　与えられなければならないものであって、
　人種、信条、性別、
　社会的身分、経済的地位
　又は
　門地によって、
　教育上
　差別されない。・・・現実は「差別」されている・・・
　2 国及び地方公共団体は、
　　能力があるにもかかわらず、
　　経済的理由によって
　　修学困難な者に対して、
　　奨学の方法を・・・・・・借金で学ぶ方法を・・・
　　講じなければならない。
　↓↑
　学校教育法
　平成十八年十二月二十二日法律第百二十号
　教育基本法
　は
　昭和二十二年法律第二十五号
　教育基本法
　の全部を改正
　↓↑
　我々日本国民は、たゆまぬ努力によって築いてきた
　民主的で
　文化的な
　国家を更に発展させるとともに、
　世界の平和と
　人類の・・・・日本国籍民は「人類」である・・・
　福祉の向上に
　貢献することを
　願うものである。
　我々は、
　この理想を・・・・理想は現実ではないから・・・
　実現するため、
　個人の・・・・・・人類としての個々人の・・・
　尊厳を重んじ、
　真理と・・・・・・真理とはナニ？
　正義を・・・・・・正義とはナニ？
　希求し、
　公共の精神を・・・公共の精神とはナニ？
　尊び、
　豊かな
　人間性と
　創造性を備えた
　人間の
　育成を・・・・・・育成は「義務」である・・・
　期するとともに、
　伝統を継承し、
　新しい文化の創造を・・・新しい文化とはナニ？
　目指す教育を推進する。
　ここに、我々は、
　日本国憲法の
　精神にのっとり、・・・・のっとり＝「乗っ取り」なのか？
　我が国の未来を・・・・・我が国の未来とはナニ？
　切り拓く
　教育の基本を確立し、
　その振興を図るため、
　この法律を制定する。
　↓↑
　教育の機会均等
　教育を受ける機会が、
　人種、信条、性別、
　社会的身分、
　経済的地位
　または
　門地により
　差別されず、・・・・差別されている・・・
　能力に応じて
　ひとしく
　保障されるべきであるという、
　近代公教育を支える理念の一つ
　日本国憲法第26条
　教育基本法第3条・第4条
　学校教育法
　などの諸規定
ーーーーー
　・・・学ぶ、学ばないは「個々人の選択の自由」ではあるが・・・「選択する環境」は「機会均等」ではないだろう・・・
　「･･･ではアル時は」・・・「･･･デハある・デハない」
　「･･･ではナイ時は」・・・「･･･デハナイ・デハある」
　の「テイリ・コウリ」を「出羽・出話・出葉」として「背負う名」せよ・・・カガミ（鑑）のクニ（句似）のアリス（蛙理素）・・・